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2017年1月1日 星期日

從月化標準差到年化標準差,如何換算?

作者:許君豪醫師 (職業醫學科)



報酬率的標準差,是投資風險的重要指標。許多投資理財書籍提到,若要從【月化標準差】(月化報酬率的標準差)轉換為【年化標準差】(的估計值),應乘以 3.46。若要從【季化標準差】轉換為年化標準差,應乘以 2。他們說,不同週期間標準差的轉換,算法是【「週期的比值」開根號】。

其實這個算法是錯的。


知名投資理財作家 William Bernstein,在他的經典書籍《智慧型資產配置 (The Intelligent Asset Allocator)》中,也犯了這個錯。

[註 1] p.22,寰宇出版,2016 年 2 月初版七刷,isbn: 9789861575209。

需說明的是,資料不完整、不足且想估計不同週期的標準差的時候,才需要本文提到的轉換。若你能取得充足的原始資料,則不需要煩惱這個轉換問題。

我們一起來看看,為什麼【乘以根號 12】是錯的。


年化報酬率 = 月化報酬率【相加】?





年化報酬率指的是【以年為單位的投資報酬率】。例如:投資十萬,一年後賺兩萬,則此年的報酬率為 0.2。第二年結束後再賺三萬,則第二年的報酬率為 0.25。因為第二年年初的資本是十二萬,賺得的三萬跟十二萬相比,是 0.25。

如果年化報酬率是月化報酬率相加,那麼【乘以根號 12】是正確的算法。


年化報酬率、月化報酬率的真實關係





根據上一段說明,我們知道【年化報酬率 = 月化報酬率相加】是錯的。

舉個例子:年初投資十萬,一年之中,奇數月都賺一倍,偶數月都賠一半,且在過程中沒有增資或減資。亦即,奇數月結束時資本都變成二十萬,偶數月結束時資本都變成十萬。一年結束後剩下的錢是十萬,跟年初相較,平均而言是沒賺沒賠,也就是報酬率為 0,而不是賺 [1 + (-0.5)] / 2 = 0.25。


用正確的式子推導





若用正確的關係式,經過幾個推導步驟,即可求得年化標準差和月化標準差之間的轉換式如上。

顯然,在此關係式中,年化標準差並非【月化標準差乘以根號 12】。


更直觀的解法





推導出來的結果看似複雜,但交給電腦,很快就能算出來。實務上,計算不是問題。

有沒有更容易理解的推導?有。上圖式子的右邊是連乘積,所以只要在等號兩邊各取對數,等號右邊就變成各項【相加】,這樣就能用【乘以根號 12】處理了。這樣是不是容易理解得多!


推導中的假設


推導出前述「看起來較複雜」那個式子的過程中,使用了一個假設:

【不同月份的報酬率,符合 i.i.d.】

[註 2] i.i.d. (independent and identically distributed),意為【彼此獨立】且【分布相同】。

這個假設未必在市場的任何時間點都合理。但為了做出推導和預測,對於變數的分布有所假設,往往是必須的。


【晨星 (Morningstar)】已使用此式多年


晨星 (Morningstar) 是知名投資研究和基金評級公司。本文核心內容參考自晨星加拿大分公司的研究總監 Paul D. Kaplan 博士於 2013 年發表的一篇文章。他在文中提到,這個概念早在 1965 年就被提出,正確的式子在 Morningstar 也已經使用多年,希望投資研究機構及投資人能夠盡早改正觀念。

最後要提醒的是,本文的算式為【母群體】的關係式。若要帶入【由樣本推估母群體】的概念,則必須對變數的分布加入其他假設。Paul D. Kaplan 的文章中,以假設報酬率為對數常態分布 (log-normal distribution) 為例,說明在這樣的假設下,月化標準差和年化標準差的關係。然而,報酬率是否符合【樣本 vs. 母群體】的架構,其實是很值得深入討論的問題。限於篇幅, 於此略過不談。


你的投資軟體或 Excel 檔,若使用錯誤的換算法,就盡快改過來吧。祝你投資順利!


延伸閱讀


What's Wrong with Multiplying by the Square Root of Twelve. 2013. Paul D. Kaplan, Ph.D.


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