作者：許君豪醫師（職業醫學科）
其實這個算法是錯的。
知名投資理財作家 William Bernstein，在他的經典書籍《智慧型資產配置 (The Intelligent Asset Allocator)》中，也犯了這個錯。
【註 1】p.22，寰宇出版，2016 年 2 月初版七刷，isbn: 9789861575209。
需說明的是，資料不完整、不足且想估計不同週期的標準差的時候，才需要本文提到的轉換。若你能取得充足的原始資料，則不需要煩惱這個轉換問題。
我們一起來看看，為什麼「乘以根號 12」是錯的。
年化報酬率 = 月化報酬率「相加」？
年化報酬率指的是以年為單位的投資報酬率。例如：投資十萬，一年後賺兩萬，則此年的報酬率為 0.2。第二年結束後再賺三萬，則第二年的報酬率為 0.25。因為第二年年初的資本是十二萬，賺得的三萬跟十二萬相比，是 0.25。
如果年化報酬率是月化報酬率相加，那麼「乘以根號 12」是正確的算法。
年化報酬率、月化報酬率的真實關係
根據上一段說明，我們知道「年化報酬率 = 月化報酬率相加」是錯的。
舉個例子：年初投資十萬，一年之中，奇數月都賺一倍，偶數月都賠一半，且在過程中沒有增資或減資。亦即，奇數月結束時資本都變成二十萬，偶數月結束時資本都變成十萬。一年結束後剩下的錢是十萬，跟年初相較，平均而言是沒賺沒賠，也就是報酬率為 0，而不是賺 [1 + (-0.5)] / 2 = 0.25。
用正確的式子推導
若用正確的關係式，經過幾個推導步驟，即可求得年化標準差和月化標準差之間的轉換式如上。
顯然，在此關係式中，年化標準差並非「月化標準差乘以根號 12」。
更直觀的解法
推導出來的結果看似複雜，但交給電腦，很快就能算出來。實務上，計算不是問題。
有沒有更容易理解的推導？有。上圖式子的右邊是連乘積，所以只要在等號兩邊各取對數，等號右邊就變成各項相加，這樣就能用「乘以根號 12」處理了。這樣是不是容易理解得多！
推導中的假設
推導出前述「看起來較複雜」那個式子的過程中，使用了一個假設：
「不同月份的報酬率，符合 i.i.d.。」
【註 2】i.i.d. 全名為 independent and identically distributed，意為彼此獨立而且分布相同。
這個假設未必在市場的任何時間點都合理。但為了做出推導和預測，對於變數的分布有所假設，往往是必須的。
晨星 (Morningstar) 已使用此式多年
晨星 (Morningstar) 是知名投資研究和基金評級公司。本文核心內容參考自晨星加拿大分公司的研究總監 Paul D. Kaplan 博士於 2013 年發表的一篇文章。他在文中提到，這個概念早在 1965 年就被提出，正確的式子在 Morningstar 也已經使用多年，希望投資研究機構及投資人能夠盡早改正觀念。
最後要提醒的是，本文的算式為母群體的關係式。若要帶入由樣本推估母群體的概念，則必須對變數的分布加入其他假設。Paul D. Kaplan 的文章中，以假設報酬率為對數常態分布 (log-normal distribution) 為例，說明在這樣的假設下，月化標準差和年化標準差的關係。然而，報酬率是否符合「樣本 vs. 母群體」的架構，其實是很值得深入討論的問題。限於篇幅， 於此略過不談。
你的投資軟體或 Excel 檔，若使用錯誤的換算法，就盡快改過來吧。祝你投資順利！
延伸閱讀
What's Wrong with Multiplying by the Square Root of Twelve. 2013. Paul D. Kaplan, Ph.D.
